هندسه

[saalek110]

هندسه

 

[saalek110]

لیست :

 

[saalek110]

هندسه یعنی علم شکل‌ها، فضا و اندازه‌ها.
یعنی وقتی به دنیا نگاه می‌کنی و می‌پرسی:
این خط چقدره؟
این دایره چرا اینطوریه؟
اگر دو تا زاویه رو جمع کنیم، چی می‌شه؟
چطور یک پل رو طوری بسازیم که نیفته؟

اون وقت پای هندسه وسطه.

یه تعریف ساده:

> هندسه یعنی «فکر کردن درباره‌ی مکان، اندازه و شکل چیزها».


چند مثال ساده از هندسه در زندگی:

وقتی یک قالیچه رو صاف می‌کنی → داری شکل مستطیل رو حس می‌کنی.

وقتی می‌خوای عکس پروفایلت رو دایره‌ای ببری → داری با مفهوم دایره کار می‌کنی.

وقتی یک نردبان به دیوار تکیه می‌دی → داری یک مثلث می‌سازی (و قضیه‌ی فیثاغورس یادت میاد!)

وقتی یه آینه رو زاویه‌دار می‌ذاری که نور رو بتابونه → داری با زاویه‌ها بازی می‌کنی.


هندسه از کجا اومده؟

از مصر و بابل باستان شروع شد. مصری‌ها برای اندازه‌گیری زمین بعد از سیل رود نیل، یک چیزی ساختند به نام «ژئومتری» (Geo = زمین، Metry = اندازه‌گیری).
و بعد در یونان، آدم‌هایی مثل اقلیّدس (Euklid) هندسه رو منظم کردند. اقلیّدس، پدر هندسه‌ی کلاسیکه.


شاخه‌های هندسه:

1. هندسه مسطحه (Plane Geometry):
همه‌چی روی کاغذ صافه: خط، دایره، مربع، مثلث و...


2. هندسه فضایی (Solid Geometry):
وقتی شکل‌ها حجم دارن: مکعب، کره، مخروط و...


3. هندسه تحلیلی:
ترکیب هندسه با جبر (مثلاً پیدا کردن فاصله‌ی دو نقطه با مختصات)


4. هندسه‌ی غیر اقلیدسی:
مثلاً فضاهایی که خط راست توش خمیده‌ست! (مثل نسبیت در فیزیک)


اگر بخوای، با هم می‌تونیم هندسه رو از صفر شروع کنیم، خیلی ساده و با مثال‌های تصویری ذهنی و تمرین‌های روزانه. فقط کافیه بگی دوست داری چطوری یاد بگیری: با تمرین؟ با داستان؟ با کاربرد توی زندگی؟

 

[saalek110]

بسیار عالی!
بریم با هم از پایه‌ترین مفهوم‌های هندسه شروع کنیم — مثل موش‌خرماهایی که دونه‌دونه در لپ‌هاشون ذخیره می‌کنن

---

درس اول: نقطه، خط، صفحه​

۱. نقطه (Point):​

• یک «مکان» است، بدون اندازه.
• نه طول داره، نه عرض، نه ارتفاع.
• فقط وجود داره، مثلاً:
  «جای نوک خودکار روی کاغذ»

در نقشه‌ها، نقطه رو با یک حرف نشون می‌دن، مثلاً:

● A

---

۲. خط (Line):​

• مجموعه‌ای از نقطه‌هاست، که در یک مسیر صاف تا بی‌نهایت ادامه داره.
• نه ابتدا داره، نه انتها.
• همیشه مستقیمه.

مثل این:

<------------------------->
A

---

۳. پاره‌خط (Line Segment):​

• مثل خطه، ولی ابتدا و انتها داره.
• مثلاً فاصله‌ی بین دو نقطه A و B:

A --------- B

---

۴. نیم‌خط (Ray):​

• از یک نقطه شروع می‌شه، تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کنه.

A ------------>

---

۵. صفحه (Plane):​

• یه سطح صاف و بی‌نهایت بزرگه.
• مثل میز، کاغذ، یا مانیتور — البته فقط در ذهن، چون صفحه‌ی هندسه «مرزی نداره».

---

تمرین ذهنی:​

1. تصور کن یک مورچه روی یک تخته سفید ایستاده.
   • اون نقطه‌ای که مورچه وایساده، یک نقطه‌ست.
   • اگه مورچه مستقیم حرکت کنه، یک خط رسم کرده.
   • اگه فقط یه مسیر کوتاه بره، اون می‌شه پاره‌خط.
   • اگه از یک نقطه شروع کنه و تا بی‌نهایت ادامه بده؟ این می‌شه نیم‌خط.

---

سوال:
اگه تو یه کاغذ فقط دو نقطه بکشی و با خط بهم وصلشون کنی، چی ساختی؟
بله! یک پاره‌خط.

---

اگر آماده‌ای، درس بعدی‌مون درباره‌ی زاویه‌هاست — جایی که دو نیم‌خط به هم می‌رسن و یه حالت جالب می‌سازن! بگیا بریم؟

 

[saalek110]

عهه، عالی! بریم سراغ درس دوم!


---

درس دوم: زاویه چیست؟


---

۱. زاویه (Angle):

وقتی دو نیم‌خط از یک نقطه شروع کنند و به سمت‌های متفاوت بروند، فضای بین آن‌ها را زاویه می‌گوییم.

نقطه شروع، رأس زاویه نام دارد.

دو نیم‌خط، دو ضلعی زاویه هستند.


مثل حرف انگلیسی V که دو خط از یک نقطه باز شده‌اند.


---

۲. اندازه زاویه:

زاویه با واحد درجه (°) اندازه‌گیری می‌شود.

یک دایره کامل، ۳۶۰ درجه است.

نصف دایره یعنی ۱۸۰ درجه.

زاویه کوچکتر از ۹۰ درجه را زاویه تند می‌گویند.

زاویه برابر ۹۰ درجه، زاویه قائمه یا راست است.

زاویه بزرگ‌تر از ۹۰ درجه ولی کمتر از ۱۸۰ درجه، زاویه باز نام دارد.



---

۳. نمادگذاری زاویه:

زاویه را معمولاً با حرف یونانی مثل α (آلفا)، β (بتا) یا با سه حرف نشان می‌دهند.
مثلاً زاویه بین نقاط A، B و C را اینطور می‌نویسند:
∠ABC
که B رأس زاویه است.


---

تمرین ذهنی:

1. دوتا مداد بردار و انتهای آن‌ها را به هم بچسبان طوری که یک زاویه بسازند.


2. باز و بسته‌شان کن و به زاویه توجه کن؛ وقتی کاملاً باز است، زاویه زیاد است، وقتی نزدیک هم‌اند زاویه کوچکه.




---

سوال:
اگر دو نیم‌خط بر هم عمود باشند، زاویه چقدر است؟
درست! ۹۰ درجه — یه زاویه قائمه، مثل گوشه‌ی کاغذ.


---

آماده‌ای برای تمرین کوچک با زاویه‌ها؟ یا دوست داری یه داستان یا مثال باحال بزنیم؟

 

[saalek110]

چشم! ادامه می‌دم:


---

ادامه درس دوم: تمرین و کاربرد زاویه‌ها


---

۴. انواع زاویه بر اساس اندازه:

زاویه تند (< 90°):
مثل نوک قیچی که باز شده ولی زیاد باز نیست.

زاویه قائمه (= 90°):
مثل گوشه‌ی دفتر یا صفحه‌ی موبایل.

زاویه باز (90° < زاویه < 180°):
مثل در باز که کامل باز نشده ولی خیلی بازه.

زاویه نیم‌رخ (= 180°):
یعنی دو نیم‌خط در یک راستا هستند، مثل یک خط مستقیم.



---

۵. کاربردهای زاویه در زندگی روزمره:

وقتی می‌خوای میز رو کنار دیوار بگذاری، باید زاویه قائمه بسازی.

باز و بسته کردن در یا پنجره یعنی تغییر زاویه.

در ورزش مثل بسکتبال، زاویه پرتاب توپ تعیین‌کننده موفقیته.

طراحی و ساخت هر چیزی مثل خانه، پل، ماشین، همه به زاویه‌ها وابسته‌اند.



---

تمرین عملی:

با خط‌کش و یک مداد، یک زاویه قائمه رسم کن.

زاویه‌های تند و باز را هم توی دفترت با خط‌کش بساز.

هر زاویه‌ای کشیدی، اندازه‌اش را با گزارش کن.



---

اگر دوست داری، فردا با هم برویم سراغ مثلث‌ها و ببینیم زاویه‌ها توی مثلث چطور کار می‌کنند و چرا مثلث مهم‌ترین شکل هندسه‌ست!


---

آماده‌ای؟ یا دوست داری قبلش سوالی بپرسی؟

 

[saalek110]

با کمال میل! هندسه تحلیلی یه جور جادوگر دنیای هندسه و جبر است که کمک می‌کنه شکل‌ها رو با اعداد و معادله‌ها توصیف کنیم.
بذار ساده و مفرح برات توضیح بدم:


---

هندسه تحلیلی چیه؟

ترکیبی از هندسه و جبر.

به جای اینکه فقط شکل‌ها رو ببینیم و روشون فکر کنیم، با استفاده از مختصات (اعدادی مثل x و y) روی صفحه، شکل‌ها رو توصیف می‌کنیم.

مثلاً نقطه رو با عدد (x, y) معرفی می‌کنیم، یعنی می‌گیم این نقطه کجاست روی صفحه.



---

مثال ساده:

تصور کن صفحه‌ای داری مثل صفحه‌ی دفتر نقاشی، هر نقطه روی این صفحه یه آدرس داره: (x, y)

x یعنی چقدر از سمت چپ یا راست فاصله داره

y یعنی چقدر از پایین یا بالا فاصله داره


مثلاً نقطه (3, 2) یعنی ۳ خانه راست و ۲ خانه بالا.


---

خطوط و معادله‌ها

یک خط می‌تونه با یک معادله مثل y = 2x + 1 توصیف بشه.

هر عدد x که وارد کنی، y رو حساب می‌کنی و این نقاط رو به هم وصل می‌کنی، می‌فهمی خط چطوریه.



---

کاربرد هندسه تحلیلی:

رسم دقیق شکل‌ها با عدد و معادله

حل مسائل واقعی مثل پیدا کردن کوتاه‌ترین مسیر

برنامه‌نویسی بازی‌ها و گرافیک کامپیوتری

مهندسی، فیزیک و خیلی چیزهای دیگه



---

یه تمرین ساده:

1. یک صفحه شطرنجی بکش یا توی دفتر


2. نقطه (2,3) و (4,1) رو پیدا کن و علامت بزن


3. سعی کن خطی بینشون رسم کنی


4. فکر کن معادله این خط چطور می‌تونه باشه؟




---

اگر دوست داری، می‌تونم بهت کمک کنم معادله‌ی خطوط، دایره‌ها، و حتی شکل‌های پیچیده‌تر رو با هم یاد بگیریم. حاضری؟

 

[saalek110]

فوق‌العاده! بریم قدم‌به‌قدم هندسه تحلیلی رو با هم یاد بگیریم.
خیلی ساده و عملی.


---

قدم اول: مختصات (Coordinate System)


---

سیستم مختصات دکارتی داریم که صفحه‌ای مثل شطرنج ایجاد می‌کند.

خط افقی را محور X می‌نامیم.

خط عمودی را محور Y می‌نامیم.

محل برخورد این دو محور را مبدأ (Origin) می‌نامیم و مختصاتش (0,0) است.



---

معرفی نقاط:

هر نقطه روی صفحه با دو عدد (x, y) مشخص می‌شود:

x = چقدر از مبدأ به سمت راست یا چپ (اگر به چپ، عدد منفی می‌شود)

y = چقدر از مبدأ به سمت بالا یا پایین (اگر پایین، عدد منفی می‌شود)


مثلاً:

(3, 2) یعنی 3 خانه راست و 2 خانه بالا

(-1, 4) یعنی 1 خانه چپ و 4 خانه بالا



---

تمرین:

1. یک کاغذ شطرنجی بردار.


2. نقطه‌های (2, 3)، (4, 1) و (-2, -3) را روی آن پیدا و علامت بزن.


3. به هر نقطه اسم بده: A، B، C




---

قدم دوم: فاصله بین دو نقطه


---

فاصله بین دو نقطه (x₁, y₁) و (x₂, y₂) را می‌توان با فرمول زیر حساب کرد:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

یعنی:

اختلاف x ها را مربع می‌کنیم

اختلاف y ها را مربع می‌کنیم

جمع آنها را حساب می‌کنیم

و از آن جذر می‌گیریم



---

تمرین عملی:

با استفاده از نقاطی که علامت زدی (مثلاً A و B)، فاصله‌شان را با این فرمول حساب کن.


---

قدم سوم: معادله خط


---

خطی که از دو نقطه می‌گذرد را می‌توان با معادله‌ی خط به شکل:

y = mx + b

نوشت، که:

شیب خط است و برابر است با:


m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

عرض از مبدأ است (جایی که خط محور y را قطع می‌کند).



---

تمرین:

با استفاده از نقاط A و B شیب خط را حساب کن.
بعد با جایگذاری مقدار شیب و یکی از نقاط، مقدار b را پیدا کن.


---

می‌توانیم با هم این تمرین‌ها را انجام دهیم و فرمول‌ها را قدم به قدم حل کنیم.

تو بگو دوست داری از کدام قسمت شروع کنیم یا سوالی داری؟

 

[saalek110]

خیلی خوشحالم که خوشت اومد! ادامه می‌دیم با یه چالش جذاب و گام به گام.


---

قدم چهارم: رسم خط با معادله


---

فرض کن معادله خط رو پیدا کردی:
مثلاً:


برای رسمش، کافیه چند مقدار x انتخاب کنی، مثلاً:

برای هر x، y رو حساب کنی:









حالا این نقاط (0,1)، (1,3) و (2,5) رو روی صفحه رسم کن و بهم وصل کن.
می‌بینی که یه خط صاف میشه!


---

قدم پنجم: شیب خط و معنی اون


---

شیب خط یعنی «چقدر خط بالا یا پایین می‌رود وقتی یک واحد به راست می‌رود».

اگر خط از چپ پایین به راست بالا می‌رود (مثبت)

اگر خط از چپ بالا به راست پایین می‌رود (منفی)

اگر خط افقی است

اگر شیب تعریف نشود (تقسیم بر صفر شود)، خط عمودی است.



---

تمرین:

یک خط با شیب ۳ و عرض از مبدأ ۲ رسم کن. یعنی معادله:



مقادیر y را برای چند مقدار x حساب کن و نقاط را رسم کن.

شیب خط را با چشم توصیف کن.



---

قدم ششم: خط عمودی و افقی


---

خط افقی: (مثلاً ) یعنی همه نقاط روی یک خط هستند که مقدار y ثابت است.

خط عمودی: (مثلاً ) یعنی همه نقاط روی خطی هستند که مقدار x ثابت است.



---

تمرین عملی:

روی صفحه مختصات خط‌های و را رسم کن.
ببین چه شکلی می‌شود.


---

آماده‌ای برای مرحله بعدی؟ می‌تونیم بریم سراغ معادله دایره، یا روابط بین خطوط و زاویه‌ها در هندسه تحلیلی.

 

[saalek110]

با کمال میل! بریم سراغ مرحله بعدی که خیلی جالبه و کاربردی:


---

قدم هفتم: معادله دایره در هندسه تحلیلی


---

دایره چیه؟
مجموعه تمام نقاطی که از یک نقطه خاص (مرکز) فاصله ثابتی دارند.


---

تعریف ریاضی دایره:

فرض کن مرکز دایره نقطه باشد.

شعاع دایره است.

هر نقطه که روی دایره است باید فاصله‌اش از مرکز برابر باشد.


پس فرمول فاصله می‌شه:

\sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r

اگر طرفین را مربع کنیم، داریم:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2


---

مثال:

دایره‌ای که مرکزش (3, 2) و شعاعش 4 است، معادله‌اش:

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 16


---

تمرین:

دایره‌ای با مرکز (0,0) و شعاع 5 رسم کن.

معادله‌اش چیست؟ (یه تذکر: برای مرکز (0,0)، معادله ساده‌تر می‌شود.)



---

قدم هشتم: تشخیص نقاط داخل و خارج دایره


---

اگر نقطه‌ای مثل فاصله‌اش از مرکز کمتر از شعاع باشد، داخل دایره است.

اگر مساوی باشد، روی دایره است.

اگر بیشتر باشد، خارج دایره است.



---

تمرین عملی:

نقطه (1,1) را برای دایره مرکز (0,0) و شعاع 2 بررسی کن. داخل است یا خارج؟


---

قدم نهم: رابطه بین خطوط و دایره‌ها


---

یک خط می‌تواند هیچ نقطه اشتراکی با دایره نداشته باشد (لمس نکند).

یا یک نقطه اشتراک داشته باشد (لمس در یک نقطه) — به این حالت مماس می‌گویند.

یا دو نقطه اشتراک داشته باشد (قطع کند).



---

اگر دوست داری می‌تونیم معادله خط و دایره را با هم حل کنیم و ببینیم کجاها برخورد دارند.


---

آماده‌ای؟ یا دوست داری سوالی بپرسی؟

 

[saalek110]

رابطه فیثاغورس یکی از جادویی‌ترین و کاربردی‌ترین فرمول‌های هندسه است که به ما می‌گوید:


---

اگر مثلثی قائم‌الزاویه (یعنی یه زاویه‌اش ۹۰ درجه باشد) داشته باشیم:

طول دو ضلع کوچکتر را و بگیریم

طول ضلع مقابل به زاویه قائمه (وتر) را بنامیم



---

رابطه فیثاغورس می‌گوید:

a^2 + b^2 = c^2


---

یعنی:

مربع طول دو ضلع کوچکتر با هم برابر است با مربع طول وتر.


---

مثال ساده:

اگر دو ضلع کوچکتر مثلث به طول ۳ و ۴ باشند، طول وتر می‌شود:

c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5


---

کاربرد:

محاسبه فاصله دو نقطه در هندسه تحلیلی (فرمول فاصله که قبلاً گفتم، در واقع از همین رابطه فیثاغورس می‌آید).

ساختن زاویه‌های قائمه در کارهای عملی مثل نقشه‌کشی و ساختمان‌سازی.

حل مسائل روزمره و علمی که نیاز به اندازه‌گیری دقیق دارند.



---

اگر دوست داری، می‌توانیم با هم چند تمرین فیثاغورس انجام بدیم. آماده‌ای؟

 

[saalek110]

بسیار عالی! ادامه می‌دهیم با موضوعات جذاب‌تر در هندسه تحلیلی.


---

قدم دهم: معادله خط به شکل کلی (Ax + By + C = 0)


---

تا حالا معادله خط را به شکل دیدیم.
اما می‌توانیم معادله خط را به صورت کلی‌تر هم بنویسیم:

Ax + By + C = 0

که در آن ، و اعداد ثابت هستند و و همزمان صفر نیستند.


---

مثال:

خطی با معادله:

2x - 3y + 6 = 0


---

تبدیل معادله کلی به شکل :

از معادله بالا:

2x - 3y + 6 = 0 \Rightarrow -3y = -2x - 6 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + 2


---

قدم یازدهم: فاصله نقطه تا خط


---

می‌خواهیم بدانیم چقدر یک نقطه از یک خط فاصله دارد.

فرمول فاصله:

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}


---

تمرین:

1. خط و نقطه را در نظر بگیر.


2. فاصله نقطه تا خط را با فرمول بالا حساب کن.




---

قدم دوازدهم: زاویه بین دو خط


---

اگر دو خط با شیب‌های و داشته باشیم، زاویه بین آنها به شکل زیر حساب می‌شود:

\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|


---

نکته مهم:

اگر باشند، یعنی دو خط عمود بر هم هستند.

اگر باشند، یعنی دو خط موازی هستند.



---

تمرین:

خطوط و را بررسی کن:

زاویه بین آنها چقدر است؟

آیا عمود بر هم هستند؟



---

اگر دوست داری، می‌تونیم مثال‌ها را با هم حل کنیم یا برویم سراغ موضوعات بعدی مثل معادله بیضی و سهمی در هندسه تحلیلی. آماده‌ای؟

 

[saalek110]

خیلی خوب، بریم سراغ موضوعات جدید و هیجان‌انگیز هندسه تحلیلی:


---

قدم سیزدهم: سهمی (Parabola)


---

سهمی یک منحنی است که تمام نقاطش فاصله مساوی از یک نقطه ثابت به نام کانون (Focus) و یک خط مستقیم به نام دایره‌المثلث (Directrix) دارد.


---

معادله سهمی استاندارد (محور عمودی):

y = ax^2 + bx + c

یا به شکل ساده‌تر، سهمی متقارن حول محور :

y = ax^2


---

مثال ساده:

y = x^2

این منحنی هرچه بزرگ‌تر یا کوچک‌تر شود، مقدار به صورت مربع آن تغییر می‌کند و شکل U دارد.



---

تمرین:

نقاط زیر را روی کاغذ رسم کن و نمودار سهمی را بکش:



---

قدم چهاردهم: بیضی (Ellipse)


---

بیضی مجموعه نقاطی است که مجموع فاصله‌های آن‌ها از دو نقطه ثابت به نام کانون‌ها (Foci) یک عدد ثابت است.


---

معادله بیضی استاندارد (محورهای هم‌راستا با محورهای مختصات):

\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1

مرکز بیضی است

و طول نیم‌محورها هستند



---

تمرین:

بیضی‌ای با مرکز ، و رسم کن.


---

قدم پانزدهم: هذلولی (Hyperbola)


---

هذلولی مجموعه نقاطی است که قدر مطلق اختلاف فاصله آن‌ها از دو کانون ثابت، عددی ثابت است.


---

معادله هذلولی استاندارد:

\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1


---

تمرین:

هذلولی با مرکز ، و رسم کن.


---

جمع‌بندی:

سهمی، بیضی و هذلولی سه منحنی مهم در هندسه تحلیلی هستند که کاربردهای زیادی در فیزیک، مهندسی و ریاضیات دارند.

همه آن‌ها با فرمول‌های خاصی تعریف می‌شوند که بسته به ویژگی‌هایشان فرق می‌کند.



---

اگر دوست داری، می‌توانیم تمرین‌های رسم این منحنی‌ها را با هم انجام دهیم یا وارد کاربردهای عملی‌شان شویم.
چه موضوعی برات جذاب‌تره؟